圖7.左圖，入射平面波（5mm直徑）的振幅。右圖，波長在400nm（n=1.4705）到600nm（n=1.4584）范圍之間變化時Fused Silica的折射率。
表1.場追跡方法與FMM所計算的透射率對比。
結(jié)果如表1所示。正如期望一樣，在所有的值之間可以看到一個非常好的吻合。
6. 結(jié)論
我們展示了可用于光學(xué)仿真問題高效解答的光場追跡技術(shù)。由此生成的算法能夠結(jié)合那些包含嚴格和近似方法的局部麥克斯韋求解器。在光學(xué)中，局部問題通常表現(xiàn)良好且局部求解器可以適應(yīng)于局部特征以加快計算速度。進一步的實驗檢測并將這些局部特征進行分類。這些信息可以用于設(shè)計合適的局部求解器。此文章中所呈現(xiàn)的解算法可以很容易的并行運行。特別是一個樹級次的所有局部求解器可以在一個分布計算環(huán)境下進行并行運行。然后，實現(xiàn)交流僅需要完成與子域邊界相關(guān)的場數(shù)據(jù)的交換。盡管是為了將諧波場傳播通過光學(xué)系統(tǒng)我們將場追跡公式化，但它也可以被用于一般場，如靜態(tài)和脈沖光[9,11]。為此，一般場可以分解為一系列諧波場模式這些模式可以被追跡通過系統(tǒng)并使用合適的探測器進行評估。
致謝：此處為Ulrich Langer學(xué)生，M.Kuhn博士的個人致謝。我總是樂于成為Ulrich Langer的學(xué)生和同事。我想要感謝他非凡的教育。Ulrich在表述科學(xué)問題方面具有卓越的能力，具有很強的實踐意義。他鼓勵我在麥克斯韋問題這個領(lǐng)域工作。最終，這引領(lǐng)我成為極具創(chuàng)新的光學(xué)仿真工具VirtualLab[6]軟件優(yōu)秀開發(fā)團隊的一員。我希望將此文章獻給Ulrich。最后，他的前提“給需要解決的問題設(shè)置一個數(shù)學(xué)公式！”是這篇文章中所給出的結(jié)果的起點。最后但同樣重要的是，沒有我的合作作者以及LightTrans的同事，這篇文章是不可能完成的。
參考目錄
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來定義作用于子域Ωj的輸入光場，使用
來定義對應(yīng)的輸出光場。通過算符
散射問題的解定義了輸入場到輸出場的映射
，將輸出場子域ⅈ映射到輸入場子域j，其中ⅈ≠j：
經(jīng)過邊界Γj（左邊）的兩個平面部分之間的一個子域和場追跡在兩個子域（右邊）的平面邊界部分間的傳播
會作用于子域j的輸出場，并因此和包含所有其他子域貢獻的和相加。根據(jù)（10）我們推導(dǎo)出一系列J 方程以用于計算未知的
。然后，通過定義初始條件
，我們已經(jīng)定義了一個迭代過程。在每一步迭代中，我們必須求解多組局部麥克斯韋問題：一種是對每個子域Ωj（應(yīng)用算子C）；一種是對任意子域Ωi和Ωj（應(yīng)用算子P）之間的每個自由空間區(qū)域。如果(18)成立，則結(jié)果將會收斂。我們將在第5部分給出了使用終止判據(jù)（25）獲得的收斂結(jié)果。
或者
僅對一個指數(shù)j成立。因此，樹僅有一個根節(jié)點。
-對于在Γj上給定的試驗光線，計算試驗光線上域Ωj的效應(yīng)。（ii） 
-對于在Γ_i上給定的試驗光線，計算在Γi和Γj之間的自由空間的效應(yīng)。
和一系列節(jié)點
用于描述任意散射體間的自由空間傳輸，算子
的推導(dǎo)，我們使用如下的事實，即每個平面波的傳輸通過乘以相位項 
[2,5]進行描述。方向分量kz表示如下
來表示入射光的復(fù)振幅，這個波可以使用如下形式來表示
的反射光可以寫為如下形式
的透射光的表達式如下
的連續(xù)條件，從而獲得的決定反射和透射平面波自由參數(shù)的方程。在(x,z)=(0，0)處使用連續(xù)條件，推導(dǎo)出 
θi，θr和θt之間的三個方程，從中我們可以直接獲得反射定律
